Zahlen, Zahlen, Zahlen – die Aufgabe der Woche

20.08.2019 — Online-Redaktion Verlag Dashöfer. Quelle: Verlag Dashöfer GmbH.

Das sich Mitarbeiter von Finanzbuchhaltung und Rechnungswesen gut mit Zahlen auskennen müssen, ist nichts Neues. Für alle, die diese Kompetenz auch in den Pausen beweisen oder prüfen möchten oder die einfach nicht genug von Zahlen bekommen, ist unsere Aufgabe der Woche das Richtige.

Wenn Sie alle Zahlen von 1 bis 1 Million aufschreiben würden. Wie groß wäre die Summe, wenn Sie sämtliche dafür verwendete Ziffern zusammenzählen?

Also zum Beispiel für die Zahlen von 10 bis 19 (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19):
1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 6 + 1 + 7 + 1 + 8 + 1 + 9 = 55

Lösung anzeigen

Die Lösung der Aufgabe lautet 27 000 001

Für die Lösung dieser Aufgabe gibt es natürlich viele Wege. Einer wäre zum Beispiel, die Zahlen untereinander aufzuschreiben (oder sich zu denken). Dann fällt auf, dass die Zahlen 0 - 9 sich in der Spalte ganz rechts immer wiederholen. Von 0 - 9 an, genauso wie bei 50 - 59 oder 999.100 - 999.109.

999.999
999.998
.
.
.
000.001
000.000

Die Spalte links davon zeigt zehn Mal die 0, dann zehn Mal die 1 usw. und schließlich zehn Mal die 9, bevor sich das ganze wiederholt.

Die Spalte ganz links davon wiederum, weist zunächst 100 Mal die 0 auf, dann 100 Mal die 1 und so weiter und die Spalte ganz links enthält zunächst 100.000 Mal die 0, dann 100.000 Mal die 1 und so fort. Insgesamt tauchen die Zahlen also in jeder Spalte jeweils gleich häufig auf.

Es ist also jede Zahl genau 100.000 Mal pro Spalte vertreten. So reicht es aus, einmal die Summe aus den Ziffern 0 bis 9 zu errechnen und diese Zahl zunächst mit 100.000 zu multiplizieren, um den Wert für eine Spalte zu bekommen und anschließend diese Rechnung für jede Spalte zu wiederholen, also: 45 als Summe aus 0 bis 9 multipliziert mit 100.000 ergibt 4,5 Millionen. Damit hätten wir die Summe einer Spalte. 4500000 x 6 = 27 000 000. Damit hätten wir die Summe aller Ziffern, die wir für die Zahlen 1 bis 999.999 verwendet haben.

Achtung! Vergessen Sie nicht die Summe der letzten Zahl, der Million. Diese beträgt 1. Somit ergibt sich 27 000 000 + 1 = 27 000 001. Und schon haben Sie das Ergebnis.

Ein anderer Weg könnte übrigens sein, Paare zu bilden, wie es der Mathematiker Gauß auf der Schulbank tat. Also: 999.999 und 0 zu 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 0 = 54 und so fort. So kommen Sie auf 500.000 Paare, deren Ziffern jeweils die Summe 54 ergeben und auch auf diesem Weg zum Ergebnis 27 000 000. Auch hier muss natürlich noch die 1 als Quersumme der Million addiert werden.